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- 标题： A mixture Weibull proportional hazard model for mechanical system failure prediction utilising lifetime and monitoring data
- 日期： 2023-11-28 周二
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摘要
结合多种失效模式分析整个系统的故障，提出了一种混合 Weibull 比例风险模型，用于预测具有多种失效模式的机械系统的故障。模型的参数是通过结合所有失效模式的机械系统的故障来估算的。系统故障概率密度是通过按比例混合多种失效模式的故障概率密度来获得的，将监控数据输入到 MWPHM 中以估计系统的可靠性并预测系统故障时间
现有的问题
经常使用两种类型的数据：寿命数据和状态监测数据。采用寿命数据估计失效分布函数，仅计算故障的最终结果，不适用于在不同运行条件下对故障过程进行建模。而状态监测数据，可以构建故障特征的趋势来预测故障时间，即特征值达到预定义阈值的时间。而故障程度和预设阈值之间的关系不太明确。
结合考虑寿命数据和状态监测数据，现有的很多都只考虑了单一故障模式。本模型结合多种故障模式的寿命数据和监测数据来估计系统寿命。
公式推导
PHM 模型
预测性健康管理（PHM）模型，这是由 Cox 首次提出的统计回归模型，它在机械系统可靠性研究中扮演了重要角色。PHM 模型的基本假设是，系统的风险率是两个因素的乘积：基线风险率和包括监测变量影响的指数函数。在时间 $t$ 的风险率表达式是：
$$h(t, Z_t) = h_0(t) \exp(\gamma \cdot Z_t)$$
其中 $h_0(t)$ 是基于服务时间的基线风险率，$Z_t$ 是监测值的向量，$\gamma$ 是与监测变量对应的回归参数向量。PHM 考虑了 $Z_t$ 作为协变量向量，这些协变量会成比例地增加或减少系统的风险率，而系数向量 $\gamma$ 确定了监测变量对故障过程的影响。
威布尔分布经常被用来建模机械系统的故障时间，所以它通常被选为 PHM 的基线风险率函数：
$$h_0(t) = \left( \frac{\beta}{\eta} \right) \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta - 1}$$
在这里，$\beta > 0$ 和 $\eta > 0$ 分别是威布尔分布的形状参数和尺度参数。使用威布尔分布作为基线函数的 PHM 称为威布尔比例风险模型（WPHM）。那么 WPHM 的风险函数定义为：
$$h(t, Z_t) = \left( \frac{\beta}{\eta} \right) \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta - 1} \exp(\gamma^\top Z_t)$$
根据可靠性分析的原则，系统的可靠性和故障概率密度分别估计为：
$$R(t, Z_t) = \exp \left( - \int_{0}^{t} h(t, Z_t) du \right)
= \exp \left( -\left( \frac{t}{\eta} \right)^\beta \exp(\gamma \cdot Z_t) \right)$$
$$
f(t, Z_t) = h(t, Z_t)R(t, Z_t) = \left( \frac{\beta}{\eta} \right) \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta - 1} \exp(\gamma \cdot Z_t) \exp \left[ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^\beta \exp(\gamma \cdot Z_t) \right]
$$
这里的故障密度函数，是危害函数和可靠性函数的乘积。危害函数考虑了基线危害率和监测变量的影响，而可靠性函数表示在时间 t 的条件下没有故障的概率。
在实践中，机械系统有时会运行到故障，有时则会在故障之前进行修复。因此，生命周期数据通常包含故障时间和暂停时间。为了同时处理这两种类型的数据，定义了一个似然函数 $L(\beta, \eta, \gamma)$ 。这个函数是所有故障时间的故障密度函数和所有暂停时间的可靠性函数的乘积。
似然函数是故障时间和暂停时间数据的概率的乘积，其中 $n$ 是故障样本的数量，$m$ 是暂停样本的数量。通过结合之前给出的可靠性和故障概率密度函数，似然函数可以重写为：
$$L(\beta, \eta, \gamma) = \prod_{i=1}^{n} \left[ \frac{\beta}{\eta}\left( \frac{t_i}{\eta} \right)^{\beta-1} \exp(\gamma \cdot Z_{t_i}) \right] \prod_{j=1}^{n+m} \exp \left[ -\left( \frac{t_j}{\eta} \right)^\beta \exp(\gamma\cdot Z_{t_i}) \right]$$
接着，给出了对数似然函数的表达式 $\ln L(\beta, \eta, \gamma)$ ，它是通过对似然函数取对数得到的。对数似然函数在数值上更易于处理，因此通常用作参数 $\beta, \eta, \gamma$ 优化的目标函数。通过求导并将导数设为零，可以得到 $\beta, \eta, \gamma$ 的最佳估计值。
混合威布尔比例风险模型
有以下假设：
- 机械系统的故障模式数量有限
- 机械系统的故障是故障模式之间相互作用和竞争的结果
- 每个故障模式的寿命都遵循威布尔分布，但每个故障模式的形状和尺度参数不同
- 监测变量影响每个故障模式
则系统故障的概率密度函数是通过混合多个主导故障模式的概率密度函数来定义的
$$
f(t, Z_t) = \sum_{g=1}^{p} \lambda_g f_g(t, Z_t)
$$
最终得到的函数格式为
$$
f(t, Z_t) = \sum_{g=1}^{p} \lambda_g \left[ \left( \frac{\beta_g}{\eta_g} \right) \left( \frac{t}{\eta_g} \right)^{\beta_g - 1} \exp(\gamma \cdot Z_t) \right] \exp \left[ - \left( \frac{t}{\eta_g} \right)^{\beta_g} \exp(\gamma \cdot Z_t) \right]
$$
参数很多，使用 Nelder-Mead 方法来进行估计
在 MWPHM 中，两种数据类型被结合起来。每种故障模式的风险函数被建模为基线风险率和从寿命分布和协变量函数推导出的乘积，反映了监测数据的影响。系统故障分布是通过按比例混合所有故障模式的概率分布估计得到的。对于一个运行中的系统，如果在时间 T 的系统可靠性函数 $R(t,Zt$)低于可靠性阈值 $R_0$ ，则预期系统将会失效。
